To παράδοξο του Ζήνωνα του Ελεάτη
Ο “Αχιλλέας και η χελώνα” είναι ένα από τα παράδοξα μαθηματικά και φιλοσοφικά προβλήματα που επινόησε ο Ζήνων ο Ελεάτης, αγαπημένος μαθητής του Παρμενίδη, για να υποστηρίξει τη θεωρία του δασκάλου του πως η αίσθηση της αλλαγής άρα και της κίνησης που έχουμε είναι προϊόν αυταπάτης και παραπλάνησης των αισθήσεων μας…
Ο Αχιλλέας έδωσε στη χελώνα ένα προβάδισμα, από υπεροψία. Μετά άρχισε να κινείται, ας πούμε, με διπλάσια ταχύτητα από τη χελώνα. Έστω ότι ο Αχιλλέας χρειάστηκε 1 λεπτό για να φτάσει την αρχική θέση της χελώνας. Όσο ο Αχιλλέας κινείται, κινείται και η χελώνα. Έτσι, όταν ο Αχιλλέας φτάσει την αρχική θέση της χελώνας η χελώνα θα βρίσκεται πιο μπροστά σε νέα θέση. Για να φτάσει ο Αχιλλέας αυτή τη νέα θέση θα θέλει 1/2 λεπτό, αφού τρέχει με διπλάσια ταχύτητα από τη χελώνα, αλλά πάλι η χελώνα θα είναι πιο μπροστα σε άλλη θέση που για να τη φτάσει ο Αχιλλέας θα χρειαστεί το μισό του μισού λεπτού δηλ 1/4 του λεπτού. Μετά από άπειρες τέτοιες μετατοπίσεις, για να φτάσει ο Αχιλλέας τη χελώνα χρειάζεται (1+1/2+1/4+1/8+1/16+...) λεπτά, επειδή οι όροι της ακολουθίας των αριθμών αυτών είναι άπειροι, άπειρο θα είναι και το άθροισμά τους. Αρα ο Αχιλλέας χρειάζεται άπειρα λεπτα να φτάσει τη χελώνα. Με λίγα λόγια δεν την φτάνει ποτέ, παρά το ότι κινείται γρηγορότερα ... Δες το παρακάτω
Ο Αχιλλέας έδωσε στη χελώνα ένα προβάδισμα, από υπεροψία. Μετά άρχισε να κινείται, ας πούμε, με διπλάσια ταχύτητα από τη χελώνα. Έστω ότι ο Αχιλλέας χρειάστηκε 1 λεπτό για να φτάσει την αρχική θέση της χελώνας. Όσο ο Αχιλλέας κινείται, κινείται και η χελώνα. Έτσι, όταν ο Αχιλλέας φτάσει την αρχική θέση της χελώνας η χελώνα θα βρίσκεται πιο μπροστά σε νέα θέση. Για να φτάσει ο Αχιλλέας αυτή τη νέα θέση θα θέλει 1/2 λεπτό, αφού τρέχει με διπλάσια ταχύτητα από τη χελώνα, αλλά πάλι η χελώνα θα είναι πιο μπροστα σε άλλη θέση που για να τη φτάσει ο Αχιλλέας θα χρειαστεί το μισό του μισού λεπτού δηλ 1/4 του λεπτού. Μετά από άπειρες τέτοιες μετατοπίσεις, για να φτάσει ο Αχιλλέας τη χελώνα χρειάζεται (1+1/2+1/4+1/8+1/16+...) λεπτά, επειδή οι όροι της ακολουθίας των αριθμών αυτών είναι άπειροι, άπειρο θα είναι και το άθροισμά τους. Αρα ο Αχιλλέας χρειάζεται άπειρα λεπτα να φτάσει τη χελώνα. Με λίγα λόγια δεν την φτάνει ποτέ, παρά το ότι κινείται γρηγορότερα ... Δες το παρακάτω
Μετά από περίπου 2000 χρόνια από τη διατύπωσή του το παράδοξο εξηγήθηκε με μαθηματικά. Ας δούμε πώς:
Ισχύει η ταυτότητα:
Ισχύει η ταυτότητα:
1v-av=(1-a)(1+a1+a2+a3+...) Άρα αν a διάφορο του 1 τότε:
1+a1+a2+a3+...=(1v-av)/(1-a).(1)
Ισχύει: 1+1/2+1/4+1/8+... =1+ (1/2)1+(1/2)2+(1/2)3+... σύμφωνα με την ταυτότητα αυτό το άθροισμα είναι ίσο με:
(1v-(1/2)v)/(1-(1/2)) Επειδή ο αριθμός των όρων ν τείνει στο άπειρο ο όρος (1/2)v τείνει στο 0, γιατί το 1/2 είναι μικρότερο από 1 και σε όσο μεγαλυτερη δύναμη υψώνουμε ένα αριθμό μικρότερο του 1, τόσο μικρότερο είναι το αποτέλεσμα . Άρα το άθροισμα είναι:
1/(1-1/2)=2. Δηλαδή, το άθροισμα των απείρων αυτών όρων, όχι μόνο δεν είναι άπειρα λεπτά, αλλά μόλις 2 λεπτά. Τελικά, σε μόλις δυο λεπτα ο Αχιλλέας θα φτάσει τη χελώνα.
Στο βίντεο ακολουθεί το:
Παράδοξο του παππού
Το παράδοξο του παππού είναι ένα προτεινόμενο παράδοξο του ταξιδιού στο χρόνο που περιγράφτηκε από τον συγγραφέα επιστημονικής φαντασίας Ρενέ Μπαρζαβέλ στο βιβλίο του Le Voyageur Imprudent. Το παράδοξο περιγράφεται ως εξής: ο ταξιδιώτης του χρόνου πήρε πίσω στο χρόνο την περίοδο όπου ο παππούς δεν έχει παντρευτεί ακόμα και τον σκοτώνει. Ως αποτέλεσμα, ο ταξιδιώτης δε γεννήθηκε ποτέ. Αν δε γεννήθηκε ποτέ, τότε δεν μπόρεσε να ταξιδέψει στο χρόνο και να σκοτώσει τον παππού του, που σημαίνει ότι ο ταξιδιώτης γεννήθηκε τελικά.
Παρά το όνομα, το παράδοξο του παππού δεν αναφέρεται αποκλειστικά στην αδυναμία της γέννησης κάποιου. Αντίθετα, αναφέρεται σε οποιαδήποτε πράξη που θα έκανε το ταξίδι στο χρόνο ανέφικτο από την αρχή. Το παράδειγμα του ονόματος του παραδόξου είναι απλά η πιο διαδεδομένη σκέψη κάποιου που σκέφτεται ολόκληρη την εμβέλεια των πιθανών πράξεων. Άλλο παράδειγμα θα ήταν να χρησιμοποιήσει κάποιος επιστημονική γνώση για να εφεύρει μία χρονομηχανή, έπειτα να ταξιδέψει πίσω στο χρόνο και (είτε μέσω φόνου ή άλλου μέσου) να παρεμποδίσει την επιστημονική δουλειά που οδήγησε στις πληροφορίες που χρησιμοποίησε για να εφεύρει την χρονομηχανή. Ένα αντίστοιχο παράδοξο είναι γνωστό (στη φιλοσοφία) ως αυτοβρεφοκτονία, κατά την οποία ταξιδεύει κάποιος πίσω στο χρόνο και σκοτώνει κάποιον όταν είναι μωρό.
Υποθέτοντας τον αιτιολογικό σύνδεσμο μεταξύ του παρόντος και του μέλλοντος του χρονοταξιδιώτη, το παράδοξο του παππού που διαταράσσει το σύνδεσμο μπορεί να θεωρηθεί απίθανο (έτσι αποκλείοντας την αυθαίρετη αλλαγή της μοίρας κάποιου). Ωστόσο, ένας αριθμός υποθέσεων έχει δημοσιευθεί για να αποφευχθεί το παράδοξο, όπως η ιδέα ότι το παρελθόν είναι απαράλλαχτο, οπότε ο παππούς θα επιβίωσε ήδη από την απόπειρα δολοφονίας του ή ο χρονοταξιδιώτης δημιουργεί μία εναλλακτική χρονογραμμή όπου ο ταξιδιώτης δε γεννήθηκε ποτέ. (πηγή Wikipedia)
Στο βίντεο ακολουθεί το:
Παρά το όνομα, το παράδοξο του παππού δεν αναφέρεται αποκλειστικά στην αδυναμία της γέννησης κάποιου. Αντίθετα, αναφέρεται σε οποιαδήποτε πράξη που θα έκανε το ταξίδι στο χρόνο ανέφικτο από την αρχή. Το παράδειγμα του ονόματος του παραδόξου είναι απλά η πιο διαδεδομένη σκέψη κάποιου που σκέφτεται ολόκληρη την εμβέλεια των πιθανών πράξεων. Άλλο παράδειγμα θα ήταν να χρησιμοποιήσει κάποιος επιστημονική γνώση για να εφεύρει μία χρονομηχανή, έπειτα να ταξιδέψει πίσω στο χρόνο και (είτε μέσω φόνου ή άλλου μέσου) να παρεμποδίσει την επιστημονική δουλειά που οδήγησε στις πληροφορίες που χρησιμοποίησε για να εφεύρει την χρονομηχανή. Ένα αντίστοιχο παράδοξο είναι γνωστό (στη φιλοσοφία) ως αυτοβρεφοκτονία, κατά την οποία ταξιδεύει κάποιος πίσω στο χρόνο και σκοτώνει κάποιον όταν είναι μωρό.
Υποθέτοντας τον αιτιολογικό σύνδεσμο μεταξύ του παρόντος και του μέλλοντος του χρονοταξιδιώτη, το παράδοξο του παππού που διαταράσσει το σύνδεσμο μπορεί να θεωρηθεί απίθανο (έτσι αποκλείοντας την αυθαίρετη αλλαγή της μοίρας κάποιου). Ωστόσο, ένας αριθμός υποθέσεων έχει δημοσιευθεί για να αποφευχθεί το παράδοξο, όπως η ιδέα ότι το παρελθόν είναι απαράλλαχτο, οπότε ο παππούς θα επιβίωσε ήδη από την απόπειρα δολοφονίας του ή ο χρονοταξιδιώτης δημιουργεί μία εναλλακτική χρονογραμμή όπου ο ταξιδιώτης δε γεννήθηκε ποτέ. (πηγή Wikipedia)
Στο βίντεο ακολουθεί το:
Κινέζικο δωμάτιο
Το Chinese Room («Κινέζικο Δωμάτιο») προέρχεται από το έργο του John Searle, που δημοσιεύτηκε το 1980 και διαπραγματεύεται την τεχνητή νοημοσύνη. Ένας άνθρωπος βρίσκεται μόνος του μέσα σε ένα δωμάτιο. Κάποιος που βρίσκεται έξω από το δωμάτιο, σπρώχνει χαρτιά κάτω από την πόρτα του, στα οποία είναι γραμμένο κείμενο στα κινέζικα. Ο άνθρωπος του δωματίου δεν γνωρίζει κινέζικα, αλλά έχει ένα βιβλίο το οποίο αντιστοιχίζει τις κατάλληλες αποκρίσεις στα κινέζικα, που ταιριάζουν με τα κείμενα που εισέρχονται στο δωμάτιο. Έτσι, για κάθε κείμενο που λαμβάνει στέλνει έξω την κατάλληλη απάντηση. Για έναν εξωτερικό παρατηρητή, φαίνεται ότι ο άνθρωπος του πειράματος γνωρίζει κινέζικα. Το νοητικό αυτό πείραμα προτάθηκε από τον φιλόσοφο John Searle, με σκοπό να καταρρίψει τις θεωρίες που υποστήριζαν την τεχνητή νοημοσύνη. Ο επεξεργαστής ενός υπολογιστή, όπως και ο άνθρωπος του πειράματος στερείται κατανόησης του έργου που εκτελεί και γι” αυτόν το λόγο δεν έχει πραγματική νοημοσύνη.
Στο βίντεο ακολουθεί το:
Στο βίντεο ακολουθεί το:
Απειρο ξενοδοχείο του Hilbert
«Το Άπειρο Ξενοδοχείο του Hilbert» προτάθηκε από τον Γερμανό Δαβίδ Χίλμπερτ (David Hilbert), από τους πιο σημαντικούς μαθηματικούς του 19ου και 20ου αιώνα και αντιμετωπίζει το γιγάντιο θέμα του απείρου.Το «Άπειρο Ξενοδοχείο» έχει παιδέψει πολλούς μαθηματικούς, φυσικούς ακόμα και θεολόγους. Χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός ξενοδοχείου με άπειρα δωμάτια, στο οποίο έρχονται με διάφορους τρόπους άπειροι επισκέπτες, εξετάζει την έννοια του απείρου. Μια δύσκολη υπόθεση στην οποία αντιτίθενται οι αισθήσεις μας που την βλέπουν μάλλον ως αριθμό και όχι ως έννοια. Δίνει μια εικόνα των ιδιοτήτων του απείρου, όπως πόσο κάνει απειρο + άπειρο ή 2 φορές το άπειρο κλπ.
Τέλος στο βίντεο προβάλλεται το:
Τέλος στο βίντεο προβάλλεται το:
Παράδοξο των διδύμων
Η μέτρηση του χρόνου εξαρτάται από το που καθόμαστε και τον μετράμε (σύστημα αναφοράς). Ο Einstein απέδειξε με την Ειδική θεωρία της σχετικότητας ότι, όταν ένα διαστημόπλοιο κινείται σε σχέση με τη γη με μεγάλη ταχύτητα, τότε το ρολόι που βρίσκεται μέσα στο διαστημόπλοιο μετράει αλλιώς τα χρονικά διαστήματα από ότι τα γήινα ρολόγια. Φαίνεται ότι στη γη ο χρόνος περνά "πιο άργά" . Δηλαδή, φαίνεται να διαστέλλονται τα χρονικά διαστήματα, όπως τα μετράμε στη γη, σε σχέση με το πως τα μετράμε μέσα στο διαστημόπλοιο.
Ένα πολύ ενδιαφέρον αποτέλεσμα της διαστολής το χρόνου είναι το λεγόμενο παράδοξο των διδύμων.
Θεωρούμε δύο 20άχρονους δίδυμους το Σταμάτη και το Γρηγόρη. Ο Γρηγόρης μπαίνει σ’ ένα διαστημόπλοιο το έτος 2008 και ταξιδεύει σ’ ένα μακρινό αστέρι που απέχει απ’ τη Γη 30 έτη φωτός με ταχύτητα πολύ κοντά σ’ εκείνη του φωτός. Αφού φτάσει στον προορισμό του επιστρέφει αμέσως στη Γη με την ίδια ακριβώς ταχύτητα. Όταν φτάνει στη Γη εκπλήσσεται με τις αλλαγές που βλέπει γύρω του. Οι πόλεις γύρω του έχουν αλλάξει, ο τρόπος ζωής των ανθρώπων έχει αλλάξει κι αυτός καθώς νέες τεχνολογίες έχουν μπει στη ζωή του, αλλά και άλλα πολλά. Η μεγαλύτερη έκπληξη όμως τον περιμένει όταν πηγαίνει στο σπίτι του δίδυμου αδερφού του Σταμάτη. Αντί να δει ένα παλικάρι 31 ετών (που είναι η ηλικία του) βλέπει ένα παππούλη με δύο εγγόνια στην ηλικία που είχε όταν ξεκίνησε το ταξίδι του! Ο Σταμάτης βλέποντας το δίδυμο αδερφό του τον αναγνωρίζει φυσικά αμέσως και ανοίγει την αγκαλιά του να τον υποδεχτεί :
“Καλωσόρισες Γρηγόρη ! Πως ήταν το ταξίδι ;” λέει ο Σταμάτης. “Ένα ταξίδι στο διάστημα είναι μια εκπληκτική εμπειρία. Βλέπεις υπέροχους κόσμους που δε τους φαντάζεσαι καν… αλλά μια στιγμή ο Σταμάτης που είναι ;” “ΕΓΩ ΕΙΜΑΙ, τόσο πολύ άλλαξα ;!” απαντά ο Σταμάτης. “Τι ‘κακό’ σε βρήκε και φαίνεσαι σαν να ‘σαι 80άρης;” ρωτά ο Γρηγόρης. “Μα ΕΙΜΑΙ 80 ετών, βρισκόμαστε στο έτος 2068…”
Ο Γρηγόρης λιποθυμά και ο Σταμάτης τον αρχίζει “στα χαστούκια” για να τον συνεφέρει !
Ας το δούμε όμως απ’ τη σκοπιά της επιστήμης :
Είναι φυσικό ν’ αναρωτηθούμε “ποιος από τους δίδυμους αδερφούς ταξίδεψε με ταχύτητα πλησίον εκείνης του φωτός” διότι αυτός θα είναι που δε θα γέρασε. Στο σύστημα αναφοράς του Σταμάτη αυτός έμεινε στη Γη ενώ ο Γρηγόρης έφυγε για το ταξίδι. Απ’ την άλλη πλευρά κάποιος άλλος από αλλού μπορεί να πει ότι ο Σταμάτης μαζί με τη Γη ταξίδεψε με την προαναφερθείσα ταχύτητα και κατόπιν επέστρεψαν. Ακριβώς αυτό είναι το φαινομενικά παράδοξο.
Για να το λύσουμε πρέπει να επιστήσουμε την προσοχή μας στο γεγονός ότι, το σύστημα αναφοράς του Γρηγόρη αλλάζει κατάσταση από την αδράνεια δύο φόρες, ενώ το σύστημά αναφοράς του Σταμάτη είναι συνεχώς αδρανές, δηλ δεν αλλάζει η κινητική του κατάσταση. Το φαινομενικά λοιπόν αυτό παράδοξο εξηγείται στα πλαίσια της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας
Ένα πολύ ενδιαφέρον αποτέλεσμα της διαστολής το χρόνου είναι το λεγόμενο παράδοξο των διδύμων.
Θεωρούμε δύο 20άχρονους δίδυμους το Σταμάτη και το Γρηγόρη. Ο Γρηγόρης μπαίνει σ’ ένα διαστημόπλοιο το έτος 2008 και ταξιδεύει σ’ ένα μακρινό αστέρι που απέχει απ’ τη Γη 30 έτη φωτός με ταχύτητα πολύ κοντά σ’ εκείνη του φωτός. Αφού φτάσει στον προορισμό του επιστρέφει αμέσως στη Γη με την ίδια ακριβώς ταχύτητα. Όταν φτάνει στη Γη εκπλήσσεται με τις αλλαγές που βλέπει γύρω του. Οι πόλεις γύρω του έχουν αλλάξει, ο τρόπος ζωής των ανθρώπων έχει αλλάξει κι αυτός καθώς νέες τεχνολογίες έχουν μπει στη ζωή του, αλλά και άλλα πολλά. Η μεγαλύτερη έκπληξη όμως τον περιμένει όταν πηγαίνει στο σπίτι του δίδυμου αδερφού του Σταμάτη. Αντί να δει ένα παλικάρι 31 ετών (που είναι η ηλικία του) βλέπει ένα παππούλη με δύο εγγόνια στην ηλικία που είχε όταν ξεκίνησε το ταξίδι του! Ο Σταμάτης βλέποντας το δίδυμο αδερφό του τον αναγνωρίζει φυσικά αμέσως και ανοίγει την αγκαλιά του να τον υποδεχτεί :
“Καλωσόρισες Γρηγόρη ! Πως ήταν το ταξίδι ;” λέει ο Σταμάτης. “Ένα ταξίδι στο διάστημα είναι μια εκπληκτική εμπειρία. Βλέπεις υπέροχους κόσμους που δε τους φαντάζεσαι καν… αλλά μια στιγμή ο Σταμάτης που είναι ;” “ΕΓΩ ΕΙΜΑΙ, τόσο πολύ άλλαξα ;!” απαντά ο Σταμάτης. “Τι ‘κακό’ σε βρήκε και φαίνεσαι σαν να ‘σαι 80άρης;” ρωτά ο Γρηγόρης. “Μα ΕΙΜΑΙ 80 ετών, βρισκόμαστε στο έτος 2068…”
Ο Γρηγόρης λιποθυμά και ο Σταμάτης τον αρχίζει “στα χαστούκια” για να τον συνεφέρει !
Ας το δούμε όμως απ’ τη σκοπιά της επιστήμης :
Είναι φυσικό ν’ αναρωτηθούμε “ποιος από τους δίδυμους αδερφούς ταξίδεψε με ταχύτητα πλησίον εκείνης του φωτός” διότι αυτός θα είναι που δε θα γέρασε. Στο σύστημα αναφοράς του Σταμάτη αυτός έμεινε στη Γη ενώ ο Γρηγόρης έφυγε για το ταξίδι. Απ’ την άλλη πλευρά κάποιος άλλος από αλλού μπορεί να πει ότι ο Σταμάτης μαζί με τη Γη ταξίδεψε με την προαναφερθείσα ταχύτητα και κατόπιν επέστρεψαν. Ακριβώς αυτό είναι το φαινομενικά παράδοξο.
Για να το λύσουμε πρέπει να επιστήσουμε την προσοχή μας στο γεγονός ότι, το σύστημα αναφοράς του Γρηγόρη αλλάζει κατάσταση από την αδράνεια δύο φόρες, ενώ το σύστημά αναφοράς του Σταμάτη είναι συνεχώς αδρανές, δηλ δεν αλλάζει η κινητική του κατάσταση. Το φαινομενικά λοιπόν αυτό παράδοξο εξηγείται στα πλαίσια της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας